广义 Lasso 问题与解的唯一性

我们研究广义 lasso 问题中的唯一性，其中惩罚项为矩阵 $D$ 乘以系数向量的 $\ell_1$ 范数。我们推导了关于唯一性的一个广泛结果，其对预测矩阵 $X$ 和惩罚矩阵 $D$ 施加了较弱的假设；其含义是，若 $D$ 固定且其零空间不太大（$D$ 的零空间维数至多为样本数），且 $X$ 与响应向量 $y$ 联合服从绝对连续分布，则广义 lasso 问题几乎必然有唯一解，而与预测变量相对于样本数的数量无关。这有效地推广了先前针对 lasso 问题（对应于特例 $D=I$）的唯一性结果。进一步，我们将研究扩展到损失由广义线性模型的负对数似然给出的情况。除唯一性结果外，我们还推导了广义 lasso 解的局部稳定性结果，其本身可能具有独立意义。