无向 percolation 游戏背后的原理

我们通过一个零和游戏的值来表征 $\mathbb{Z}^2$ 上无向 percolation 的临界参数。具体而言，我们定义一个在 $\mathbb{Z}^2$ 的 percolation 配置上进行的零和游戏，其中两个玩家在 $\mathbb{Z}^2$ 的非方向边上移动一个标记，收集每条开启的边的费用为1，关闭的边为0。总费用由平均费用的上极限给出。我们证明了该游戏的值是确定性的，仅当 percolation 参数超过 $p_c$（无向 percolation 的临界指数）时，等于1。此外，我们证明了该游戏的值在 $p_c$ 处是连续的。最后，我们表明对于接近0的 $p$，该游戏的值等于0。