分数阶朗之万方程：重访布朗运动

我们基于分数阶朗之万方程重访了布朗运动，该方程被证明是 Kubo 于 1966 年引入的广义朗之万方程的一个特例。我们方法的重要性在于，与基于经典朗之万方程的常规模型相比，它能更真实地模拟布朗运动，因为它还考虑了由流体动力学回流引起的阻滞效应，即附加质量和 Basset 记忆阻力。基于两个涨落 - 耗散定理和分数阶微积分技术，我们提供了相关函数（针对随机力和粒子速度）以及均方位移的解析表达式。研究表明，随机力可表示为常规白噪声与“分数阶”噪声的叠加。速度相关函数不再由简单的指数形式表示，而是表现出较慢的衰减，当 $t \to \infty$ 时正比于 $t^{-3/2}$，这确实更为真实。最后，研究表明，在足够长的时间内，均方位移保持了正常扩散典型的线性行为，且具有与经典情况相同的扩散系数。然而，Basset 历史力在线性行为的建立过程中诱导了阻滞效应，在某些情况下，这可能表现为反常扩散，需要在实验测量中予以正确解读。