周期倍增序列的形式逆

若$p$为素数，考虑一个$p$-自动序列$(u_n)_{n\ge 0}$，并令其生成函数$U(X) = \sum_{n\ge 0} u_n X^n \in \mathbb{F}_p[[X]]$。假设存在形式幂级数$V(X) = \sum_{n\ge 0} v_n X^n \in \mathbb{F}_p[[X]]$为$U$的复合逆，即$U(V(X))=X=V(U(X))$。本文研究的问题是序列$(v_n)_{n\ge 0}$的性质。该工作最初针对Thue-Morse序列展开，近来已处理了Baum-Sweet序列两种变体的情形。本文处理周期倍增序列的情形。我们首先证明周期倍增序列取値$0$（相应取値$1$）的索引序列对任意$k\ge 2$均非$k$-正则。其次，给出其形式逆的递推关系，进而易证其为$2$-自动，并给出一个生成它的自动机。第三，我们研究该形式逆取値$1$的索引序列，并通过将其与Fibonacci数的特征序列相联系，证明其对任意$k\ge 2$非$k$-正则。我们将该形式逆取値$0$的索引序列情形留作开放问题。最后我们以关于广义Thue-Morse序列情形的注记结束全文。