具有随机边长的常数树宽DAG中最长路径长度的分布函数

本文研究具有随机边长的有向无环图（DAG）$G=(V,E)$中最长路径长度$X_{\rm MAX}$，其中$|V|=n$且$|E|=m$。当边长相互独立且均匀分布的，计算分布函数$\Pr[X_{\rm MAX}\le x]$的问题已知为$\#$P-hard，即便在$G$为一条有向路径时也是如此。在此情形下，$\Pr[X_{\rm MAX}\le x]$等于背包多胞体的体积，即被一个半空间截断的$m$维单位超立方体。本文中，我们证明当$G$的树宽至多为常数$k$时，存在确定性完全多项式时间近似方案（FPTAS）来计算$\Pr[X_{\rm MAX}\le x]$。我们的算法运行时间为$O(k^2 n(\frac{16(k+1)mn^2}{\epsilon})^{4k^2+6k+2})$，以获得乘法近似比$1+\epsilon$。在我们的FPTAS之前，我们给出了一个基础公式，用至多$n-1$次定积分的重复表示$\Pr[X_{\rm MAX}\le x]$。此外，在边长服从相互独立标准指数分布的情形下，我们给出了一个$(4k+2)mn)^{O(k)}$时间的精确算法。对于满足特定条件的随机边长，我们还证明了若选取树宽$k$、加性误差$\epsilon'$和$x$作为参数，计算$\Pr[X_{\rm MAX}\le x]$是固定参数可处理的。