分形台球的研究现状
动力系统
2014-03-25 v3
摘要
如果D是有理多边形，则相关的有理台球桌由Ω(D)给出。这样的台球桌已被充分理解。如果F是由一系列有理多边形逼近的闭分形曲线，则相应的分形台球桌记为Ω(F)。本文综述了[LapNie1-3]中关于Koch雪花分形台球Ω(KS)的许多结果，并宣布了另外两个分形台球桌的新结果，即T-分形台球桌Ω(T)（见[LapNie6]）和自相似谢尔宾斯基地毯台球桌Ω(S_a)（见[CheNie]）。我们建立了一个通用框架来分析我们称之为相容轨道序列的对象。对于每个预分形台球Ω(KS_n)、Ω(T_n)和Ω(S_a,n)（n=0,1,2,...），讨论了特定相容轨道序列的性质。在每种情况下，我们能够确定适当构造的相容轨道序列的特定极限行为。这样的极限要么构成我们称之为分形台球桌Ω(F)的非平凡路径，要么构成Ω(F)的有限周期周期轨道。在我们的例子中，F将是KS、T或S_a。本文讨论的几个结果和例子是首次提出。最后，我们简要讨论了分形台球这一新兴领域中的开放问题和进一步研究方向。
引用
@article{arxiv.1210.0282,
title = {The current state of fractal billiards},
author = {Michel L. Lapidus and Robert G. Niemeyer},
journal= {arXiv preprint arXiv:1210.0282},
year = {2014}
}
备注
26 figures. his article is a survey of resent results, in addition to newly announced results, proofs for which are to appear in forthcoming papers; arXiv admin note: text overlap with arXiv:1204.3133