基于采样的运动规划中的临界半径

我们对欧氏空间中采用均匀随机采样的基于采样的运动规划进行了新的分析，显著改进了 Karaman 和 Frazzoli (2011) 的著名结果及其后续工作。特别地，我们证明了对于 $n$ 个样本和 $d$ 维空间，存在一个正比于 ${\Theta(n^{-1/d})}$ 的临界连接半径：低于此值时规划器必然失败（如上述文献中类似证明的）。更重要的是，对于更大的半径值，规划器是渐近（近）最优的。此外，我们的分析得出了成功概率为 ${1-O( n^{-1})}$ 的显式下界。我们工作的一个实际意义在于，当每个样本仅连接 ${\Theta(1)}$ 个邻居时，即可实现渐近（近）最优。这与先前需要 ${\Theta(\log n)}$ 次连接（由阶为 ${\left(\frac{\log n}{n}\right)^{1/d}}$ 的半径所导出）的工作形成鲜明对比。我们的分析不局限于 PRM，而是适用于多种基于 PRM 的规划器，包括 RRG、FMT* 和 BTT。连续渗流在我们的证明中发挥了重要作用。最后，针对上述所有规划器，当使用确定性样本构建并以随机方式进行稀疏化时，我们发展了类似的理论。我们相信这一新模型及其分析本身就很有意义。