基于 $\epsilon$-nets 的概率路线图采样复杂度

我们研究概率路线图（PRM）在有限时间（非渐近）情形下的基本理论方面。具体而言，我们考察该方法的完备性与最优性保证如何受底层确定性采样分布 ${\mathcal{X}}$ 与连接半径 ${r>0}$ 的影响。我们提出参数 ${\mathcal{X}, r}$ 的 ${(\delta,\epsilon)}$-完备性概念，其含义是：对于每个间隙至少为 ${\delta>0}$ 的运动规划问题，使用 ${\mathcal{X}, r}$ 的 PRM 所返回的解不超过最短 ${\delta}$-间隙路径的 ${1+\epsilon}$ 倍。借助 ${\epsilon}$-nets 的概念，我们从下界与上界两方面刻画了保证 ${(\delta,\epsilon)}$-完备性所需的样本数量。这与以往主要考虑样本数趋于无穷的渐近情形的工作形成对比。在实践中，我们提出一种受 ${\epsilon}$-nets 启发的采样分布，其在使用显著更少样本的同时达到与网格几乎相同的覆盖。