有向无环图被有向无环子图覆盖的阈值

设 $H$ 为一个除根星以外的有向无环图。已知存在常数 $c(H)$ 和 $C(H)$ 使得以下关于完全有向图 $D_n$ 的命题成立：$D_n$ 中至多有 $C\log n$ 个有向无环子图覆盖 $D_n$ 的每个 $H$-拷贝，而少于 $c\log n$ 个有向无环子图不能覆盖所有 $H$-拷贝。此处该二分性被显著加强。令 ${\vec G}(n,p)$ 表示随机有向图。$H$ 的{\em 分数 Arboricity} 为 $a(H) = \max \{\frac{|E(H')|}{|V(H')|-1}\}$，其中最大值取遍 $H$ 的所有非单点子图。若 $a(H) = \frac{|E(H)|}{|V(H)|-1}$，则 $H$ 是{\em 完全平衡的}。完全图、完全多部图、圈、树以及事实上几乎所有图都是完全平衡的。证明了：1) 设 $H$ 为一个具有 $h$ 个顶点和 $m$ 条边的有向无环图（根星除外）。对每个 $a^* > a(H)$，存在 $c^* = c^*(a^*,H) > 0$，使得几乎必然地 $G \sim {\vec G}(n,n^{-1/a^*})$ 具有如下性质：$G$ 的每组至多 $c^*\log n$ 个有向无环子图 $X$ 都不能覆盖 $G$ 的所有 $H$-拷贝。此外，存在 $s(H) = m/2 + O(m^{4/5}h^{1/5})$ 使得对任意这样的 $X$ 有如下更强的断言成立：$G$ 中存在一个 $H$-拷贝，其每条边被 $X$ 中每个元素覆盖的数量不超过 $s(H)$。2) 若 $H$ 是完全平衡的，则对每个 $0 < a^* < a(H)$，几乎必然地 $G \sim {\vec G}(n,n^{-1/a^*})$ 有一个单一的有向无环子图覆盖其所有 $H$-拷贝。关于第一个结果，注意若 $h=o(m)$ 则 $s(H)=(1+o_m(1))m/2$ 约为 $H$ 边数的一半。事实上，对无穷多个 $H$ 有 $s(H)=m/2$，是最优的。关于第二个结果，要求 $H$ 完全平衡一般不能放宽。