集合、数及其他数学对象的组分，第一部分

用于构造其他数学对象的集合是纯集合，这意味着其所有元素都是集合，而这些集合本身也是纯的。因此一个集合可能位于另一个集合之内，不是作为元素，而是作为元素的元素，甚至更深，位于集合套集合的数层之中。引入术语“组分”来描述位于给定集合之内、无论多深的集合，由此在集合上诱导出一种看似新颖的偏序，并为任意给定集合赋予一个指明有向图或范畴的图——本文称之为其组分结构——表明其中哪些集合是另一些集合的组分。具有不同元素个数的集合可以具有完全相同的组分结构。因此，集合间的组分结构同构不必保持元素个数，尽管它们仍是单射、满射且可逆的。我们详细考察了一个单元素集合与五元素集合之间同构的实例，尽管基数不匹配，它仍是一个满射映射。集合的组分结构决定了该集合适于表示何种数学对象。构造自然数的不同方案，如 von Neumann 与 Zermelo 的方案，生成具有相同的组分结构的集合。对象共享用于构造或表示它们的集合的组分结构，而非其元素。将对象的属性须忠实编码于集合的组分结构而非其非组分特征（如基数）之中这一要求明确化后，规定了一种特定的、新颖的将集合的有序对与元组表示为集合的方式，并给出了定位和提取嵌套元组深处集合的简单公式。