“中继信道容量”：高斯情形下Cover问题的解

考虑一个无记忆中继信道，其中中继通过一条容量为$C_0$的隔离比特管道连接到目的端。令$C(C_0)$表示该信道作为$C_0$函数的容量。使得$C(C_0)$首次等于$C(\infty)$的$C_0$临界值是多少？这是Cover提出的一个长期悬而未决的问题，名为“中继信道容量”，载于《Open Problems in Communication and Computation》，Springer-Verlag，1987年。本文在高斯情形下回答了这个问题，并证明除非$C_0=\infty$，否则$C(C_0)$不可能等于$C(\infty)$，无论高斯信道的信噪比如何。这一结果是我们为该信道容量建立的一个新上界的推论。不同于信息论逆结果中通常在高维空间对涉及信息测度的表达式进行“单字母化”的做法，我们的证明直接量化了相关$n$字母形式之间的张力。这是通过将信息张力问题转化为高维几何问题来实现的。作为一个中间结果，我们发展了高维球面上经典等周不等式的一个推广，这本身也可能具有独立的研究价值。