具有自由半圆虚部的无界变量的 Brown 测度

设 $x_0$ 为一个无界自伴算子，使得 $x_0$ 的 Brown 测度在 Haagerup 与 Schultz 意义下存在。再设 $\tilde\sigma_\alpha$ 与 $\sigma_\beta$ 分别为方差 $\alpha\geq 0$ 与 $\beta>0$ 的半圆变量。假设 $x_0$、$\sigma_\alpha$ 与 $\tilde\sigma_\beta$ 均自由独立。我们计算 $x_0+\tilde\sigma_\alpha+i\sigma_\beta$ 的 Brown 测度，推广了近期假设 $x_0$ 为有界自伴随机变量的工作。我们使用 Driver、Hall 与 Kemp 引入的 PDE 方法计算 Brown 测度。该 PDE 的计算依赖于对 Brown 测度存在之算子类的刻画。此无界情形下的 Brown 测度与有界情形具有相同结构；它与自由卷积 $x_0+\sigma_{\alpha+\beta}$ 有联系。我们还计算了 $x_0$ 为柯西分布时的例子。