非正规三次曲面及其对称平方上的 Batyrev-Tschinkel 猜想

我们通过在任何数域上对由 $t_0^2 t_2 = t_1^2 t_3$ 给出的三次曲面 $W$ 进行点计数，完成了关于不可约非正规三次曲面上高度有界点的研究。我们证明了其增长阶与 Batyrev 和 Manin 的一个猜想一致，并且该常数反映了如 Batyrev 和 Tschinkel 猜想所预测的簇的几何性质。随后我们给出了其对称平方 $\mathrm{Sym}^2 W$ 的点计数。尽管我们能够解释计数函数的主项，但 Batyrev--Manin 猜想仅在移除一个稀疏集后才成立。最后，我们用这些猜想解释了 Le Rudulier 在 $\mathrm{Sym}^2(\mathbb P^2 \times \mathbb P^1)$ 上所做的计数的主项。