图的平均割秩

图 $G$ 中顶点集 $X$ 的割秩定义为二元域上 $X \times (V(G)\setminus X)$ 矩阵的秩，其 $(i,j)$ 项若 $X$ 中顶点 $i$ 与 $V(G)\setminus X$ 中顶点 $j$ 相邻则为 $1$，否则为 $0$。我们引入称为图的平均割秩的图参数，定义为随机顶点集割秩的期望值。我们证明该参数在取图的顶点次式时不增，且一类图具有有界平均割秩当且仅当其具有有界邻域多样性。这使我们能够推断：对每个实数 $\alpha$，具有大于（或至少）$\alpha$ 的平均割秩的诱导子图极小图列表是有限的。我们进一步通过给出阻碍元大小的上界以及对于每个实数 $\alpha\ge0$ 平均割秩至多为（或小于）$\alpha$ 的阻碍元数量的下界来精炼该结论。最后，我们显式描述了平均割秩至多为 $3/2$ 的所有图，并确定至 $3/2$ 所有可实现的作为某图平均割秩的可能值。