广告类型问题

广告类型问题（无间隔规则）是分配问题的一个特例，其中一侧有 $k$ 类节点（广告），另一侧有一组有序节点（槽位）。类型为 $\theta$ 的广告 $i$ 到槽位 $j$ 的边权为 $v_i\cdot \alpha^{\theta}_j$，其中 $v_i$ 是广告主特定值，且每个广告类型 $\theta$ 在槽位上有一条折扣曲线 $\alpha^{(\theta)}_{1} \ge \alpha^{(\theta)}_{2} \ge ... \ge 0$，该曲线对类型 $\theta$ 的广告是公共的。我们对此问题给出两点贡献：1）我们给出一个算法，可在 $O(n^2(k + \log n))$ 时间内找到最大权匹配，其中 $n$ 为槽位数且每类有 $n$ 个广告——相较使用匈牙利算法的 $O(kn^3)$——；2）我们展示如何在渐近相同的时间即 $O(n^2(k + \log n))$ 内进行 VCG 定价，并在 $O(n^3(k + \log n))$ 内应用保留价格。广告类型问题（带间隔规则）包含一个矩阵 $G$，使得在展示一个类型为 $\theta_i$ 的广告后，接下来 $G_{ij}$ 个槽位不能展示类型为 $\theta_j$ 的广告。我们通过从最大独立集归约，证明该问题对任意 $\epsilon > 0$ 难以在 $k^{1- \epsilon}$ 内近似（即使无折扣曲线）。在正面结果方面，我们展示了一个动态规划公式，可最优地求解该问题（含折扣曲线）并在 $O(k\cdot n^{2k + 1})$ 时间内运行。