MAXSPACE广告问题的近似算法

$\newcommand{\cala}{\mathcal{A}}$ 在MAXSPACE中，给定一组广告 $\cala$，希望将子集 ${\cala'\subseteq\cala}$ 调度到大小为 $L$ 的 $K$ 个槽位 ${B_1, \dots, B_K}$ 中。每个广告 ${A_i \in \cala}$ 有大小 $s_i$ 和频次 $w_i$。若任一槽位中广告总大小至多为 $L$，且每个广告 ${A_i \in \cala'}$ 恰好出现在 $w_i$ 个槽位中且每槽位至多一次，则调度可行。目标是找到使所有槽位占用空间总和最大的可行调度。我们考虑一种称为MAXSPACE-R的推广，其中广告 $A_i$ 还有发布日期 $r_i$，仅当 ${j \ge r_i}$ 时可出现在槽位 $B_j$。对该变体，我们给出 $1/9$-近似算法。进一步，我们考虑MAXSPACE-RDV，其中广告 $A_i$ 还有截止日期 $d_i$（仅可出现在满足 $r_i \le j \le d_i$ 的槽位 $B_j$），以及值 $v_i$（为 $A_i$ 每分配一份副本的收益，可与 $s_i$ 无关）。当 $K$ 受限为常量时，我们给出该问题的多项式时间近似格式。由于即便 $K=2$ 时MAXSPACE也是强NP难的，这是人们所能期望的最佳因子。