在多对数空间内基于柯尔莫哥洛夫距离检验分布恒等性

假设我们有一个来自分布$D$的样本，我们想检验对于固定的分布$D^*$，是否有$D = D^*$。具体来说，如果$D$与$D^*$在给定度量下的距离$\geq \varepsilon$，我们希望以恒定概率拒绝原假设。对于连续分布的情况，统计学文献中已对此进行了深入研究。即，对于被广泛研究的柯尔莫哥洛夫度量，已知存在一种使用最优$O(1/\varepsilon^2)$样本量的检验方法。然而，这种检验方法朴素地也使用了$O(1/\varepsilon^2)$的空间，而先前的工作已将其改进到$O(1/\varepsilon)$。在本文中，我们证明了所需空间可以少得多——我们给出了一种在流式设置下使用$O(\log^4 \varepsilon^{-1})$空间的算法，同时使用了渐近最优的样本量。这与离散分布上的标准总变差距离形成对比，对于后者，已知这种空间缩减是不可能的。最后，我们提出了9个相关的开放问题，希望能激发对此问题及相关问题的兴趣。