高维 Ising 模型中的张量恢复

$k$-张量 Ising 模型是定义于 $p$ 维二元超立方体上的指数族,用于建模相关的二元数据,其中充分统计量由观测值的所有 $k$ 重乘积构成,参数为未知的 $k$ 重张量,旨在捕捉二元变量间的高阶相互作用。本文中,我们描述了一种基于惩罚技术的方法,在真实张量无元素过于接近零的假设下,以高概率恢复张量参数的符号支撑。该方法基于 $\ell_1$ 正则化节点wise logistic 回归,以高概率恢复每个节点的符号邻域。我们的分析在高维情形下展开,允许 Ising 模型的维数 $p$ 以及相互作用因子 $k$ 随样本量 $n$ 潜在增长至 $\infty$。我们证明,若最小相互作用强度不太小,则当取样本数 $n = \Omega((k!)^8 d^3 \log \binom{p-1}{k-1})$(其中 $d$ 表示所讨论超网络的最大度)时,可一致恢复整个符号支撑。我们的结果在两种模拟设定下得到验证,并应用于一个由小鼠视觉皮层多阵列电生理记录组成的真实神经生物学数据集,以建模脑区之间的高阶相互作用。