关于随机在线排序与旅行商问题的多对数竞争算法

在 在线排序 中，给定一个初始为空的 n 个单元格的数组。在每个时间步 t，一个元素 $x_t \in [0,1]$ 到达且必须不可逆地放入一个空单元格，且无法预知未来的到达元素。旨在最小化相邻数组单元格中元素对之间的绝对差之和，寻求一种在线放置策略，使最终数组接近排序后的数组。有趣的多维推广，称为 在线旅行商问题， arises when 请求序列由 [0,1] 维单位立方体中的点组成，其目标是最小化相邻单元格中点之间的欧几里得距离之和。受 (Abrahamsen 等人；ESA 2024) 最近工作的启发，我们考虑在线排序（或在线 TSP）的随机版本，其中每个元素（或点）$x_t$ 是来自 [0,1]（或 $[0,1]^d$）均匀分布的 i.i.d. 样本。通过将请求序列小心分解为一系列层次结构的球投箱实例，其中球投箱比例足够大，以至于箱子占用率在其均值附近得到尖锐集中，同时又足够小，以便我们可以有效处理放入同一箱中的元素，我们得到一种在线算法，以高概率将最优成本近似为 $O(\log^2 n)$。我们的结果在之前最好的竞争比率 $\tilde{O}(n^{1/4})$（Abrahamsen 等人；ESA 2024）和 $O(\sqrt{n})$（对抗性在线 TSP；Bertram；ESA 2025）上实现了指数级的改进。