弧与曲线的紧光滑化

我们研究了在曲面上对弧或曲线集合中的交点进行光滑化所产生的几何与组合效应。我们证明了：在具有负欧拉示性数的可定向曲面上，所有具有固定端点的紧弧以及所有至少包含两个非不相交分支的紧 1-流形均存在紧光滑化；此外，所有具有自由端点的紧弧均存在一种光滑化，其要么是紧的，要么在移除至多一个交点后变为紧的。由此我们推断，对于曲面上的任意黎曼度量，当弧的端点固定时，具有至少 $k$ 个自交点的最短properly immersed 弧恰好拥有 $k$ 个自交点；而在其他情况下，其自交点数至多为 $k+1$；且弧长谱按自交点数呈“粗序”排列。在此过程中，我们也获得了关于曲线情形的部分类比结果。