通过熵高效测度分解驯服相关性及其在平均场近似中的应用

统计物理中各类模型的分析依赖于将测度分解为类乘积分量之混合，其目标是获得这样一种分解：各分量测度的熵接近于原测度的熵，而坐标间相关性很小。我们证明了一个相关的通用结果：对于 $\mathbb{R}^n$ 上的每个各向同性测度 $\mu$ 和每个 $\epsilon > 0$，存在分解 $\mu = \int \mu_\theta d m(\theta)$，使得 $H(\mu) - \mathbb{E}_{\theta \sim m} H(\mu_\theta) \leq n \epsilon$ 且 $\mathbb{E}_{\theta \sim m} \mathrm{Cov}(\mu_\theta) \preceq \mathrm{Id}/\epsilon$。作为一个应用，我们证明了 Ising 与 Potts 模型平均场近似的一个通用界，该界在连续与离散情形下某种意义上均无维数依赖。特别地，对于 $\{\pm 1 \}^n$ 或 $[-1,1]^n$ 上的 Ising 模型，我们证明对所有 $p>0$，平均场近似与自由能之间的亏量至多为 $C \frac{1+p}{p} \left ( n\|J\|_{S_p} \right)^{\frac{p}{1+p}}$，其中 $\|J\|_{S_p}$ 表示相互作用矩阵的 Schatten-$p$ 范数。对于 $p=2$ 的情形，这恢复了 [Jain et al., 2018] 的结果，但对于最优的 $p$ 选择，它常允许得到几乎无维数依赖的界。