简单网络感染模型的占领时间

我们研究网络上感染传播的随机模型。在每时间步，随机选择一个节点及其一个邻居。若该节点已感染且邻居易感，则邻居被感染。从单个感染节点开始，完全感染一个包含 $N$ 个节点的网络需要多少时间步 $T$？与概率论中经典的“coupon collector”问题的类比表明，占领时间 $T$ 由极端行为主导，即过程开始时仅有少数感染节点，或结束时仅有少数易感节点。我们证明，对于 $N \gg 1$，占领时间 $T$ 在星型图上服从 Gumbel 分布；在完全图与 Erd\H{o}s-R\'{e}nyi 随机图上服从两个 Gumbel 分布之和；在一维环和二维格点上服从正态分布；在 $d$ 维格点（$d \ge 3$）上服从一类中间偏斜分布（当 $d$ 趋于无穷时，这些分布趋近于两个 Gumbel 分布之和）。文中讨论了与进化动力学、癌症、传染病潜伏期、首次到达渗流以及生物学和物理学中其他传播现象的联系。