M\'esz\'aros 细分代数的 $t$-唯一约化

固定一个交换环 $\mathbf{k}$、两个元素 $\beta,\alpha\in\mathbf{k}$ 以及一个正整数 $n$。设 $\mathcal{X}$ 为 $\mathbf{k}$ 上关于 $n(n-1)/2$ 个未定元 $x_{i,j}$（对于所有 $1\leq i<j\leq n$）的多项式环。考虑 $\mathcal{X}$ 中由所有形如 $x_{i,j}x_{j,k}-x_{i,k}(x_{i,j}+x_{j,k}+\beta)-\alpha$（对于 $1\leq i<j<k\leq n$）的多项式生成的理想 $\mathcal{J}$。商代数 $\mathcal{X}/\mathcal{J}$（至少对于特定的 $\mathbf{k}$、$\beta$ 和 $\alpha$ 的选择）由 Karola M\'esz\'aros 作为 Anatol Kirillov 的准经典杨-巴克斯特代数的交换类比引入。$\mathcal{X}$ 中的一个单项式被称为无路径的，如果它没有形如 $x_{i,j}x_{j,k}$（其中 $1\leq i<j<k\leq n$）的因子。这些无路径单项式的剩余类张成 $\mathbf{k}$-模 $\mathcal{X}/\mathcal{J}$，但（一般而言）是 $\mathbf{k}$-线性相关的。最近，对格罗滕迪克多项式的研究促使 Laura Escobar 和 Karola M\'esz\'aros 定义了一个从 $\mathcal{X}$ 到多项式环 $\mathbf{k}[t_{1},t_{2},\ldots,t_{n-1}]$ 的 $\mathbf{k}$-代数同态 $D$，将每个 $x_{i,j}$ 映射为 $t_{i}$。我们证明了以下事实（推广了 M\'esz\'aros 的一个猜想）：如果 $p\in\mathcal{X}$，且 $q\in\mathcal{X}$ 是满足 $p\equiv q\operatorname{mod}\mathcal{J}$ 的无路径单项式的 $\mathbf{k}$-线性组合，那么 $D(q)$ 不依赖于 $q$（只要 $\beta$、$\alpha$ 和 $p$ 固定）。因此，将 $p\in\mathcal{X}$ 模 $\mathcal{J}$ 约化可能会根据约化过程中所做的选择导致不同的结果，但一旦应用 $D$，所有结果都将变得相同。我们还利用我们称之为无叉单项式的概念，找到了 $\mathbf{k}$-模 $\mathcal{X}/\mathcal{J}$ 的一个实际基。