生成马尔可夫链可逆化的系统性方法

给定目标分布 $\pi$ 和有限状态空间 $\mathcal{X}$ 上的任意马尔可夫无穷小生成元 $L$，我们提出了三种结构化且相互关联的方法，由 $L$ 生成新的可逆化。第一种方法基于几何视角，将可逆化视为在合适的如 $f$-散度等信息散度下到 $\pi$-可逆生成元空间的投影。通过选取不同的函数 $f$，我们不仅恢复了几乎所有已有的可逆化，还揭示并生成了新的可逆化。在此过程中，我们揭示了有趣的几何结果，如平分性质、毕达哥拉斯恒等式、平行四边形法则以及支配这些可逆化的算术-几何-调和平均不等式的马尔可夫链对应形式。这进一步促使我们引入马尔可夫链序列的信息质心概念，并给出其存在性与唯一性的条件。基于第一种方法，我们将可逆化视为广义平均。在第二种方法中，我们通过如柯西平均或对偶平均等不同自然的广义平均概念构造新的可逆化。在第三种方法中，我们结合了最近引入的局部平衡马尔可夫过程框架以及 $f$-散度研究中的凸 $*$-共轭概念。后者为生成新的可逆化提供了丰富的平衡函数来源。