同步字符串：小字母表上高效快速的确定性构造

同步字符串由Haeupler和Shahrasbi (STOC 2017) 近期在研究与插入和删除错误纠正码（insdel codes）中引入。他们证明，对于任意参数$\varepsilon>0$，都存在于一个字母表上的任意长度的同步字符串，该字母表的大小仅依赖于$\varepsilon$。具体而言，他们得到了$O(\varepsilon^{-4})$的字母表大小，这留下了一个开放问题：此类字母表的最小大小位于$\Omega(\varepsilon^{-1})$与$O(\varepsilon^{-4})$之间的何处。在本工作中，我们部分弥合了这一差距，给出了$\Omega(\varepsilon^{-3/2})$的改进下界和$O(\varepsilon^{-2})$的改进上界。我们还提供了小字母表上同步字符串的快速显式构造。此外，沿着先前关于类似组合对象的工作路线，我们研究了对于某个常数$\varepsilon < 1$同步字符串可能存在的最小字母表大小的极值问题。我们展示了可以在大小为四的字母表上构造$\varepsilon$-同步字符串，而在二进制字母表上不存在这样的字符串。这将极值问题简化为同步字符串是否存在于三元字母表上。