谨慎同步与少生成元变换半群的直径

对于部分确定性有限半自动机,若一个词将所有状态映射到同一状态,则称其为谨慎同步词。等价地,它是由若干部分变换复合而成的等于一个常值全变换的词。已有若干篇论文对 $n$ 状态、字母表较小的部分 DFA 的最短谨慎同步词长度给出了越来越强的下界。其中由 de Bondt、Don 和 Zantema 得到的下界分别为 $\Omega(\frac{2^{n/3}}{n\sqrt{n}})$(二元字母表)与 $\Omega(\frac{4^{n/5}}{n})$(三元字母表)。本文利用一种显著更简洁的构造,将这两个下界分别改进为 $2^{(n - 4)/3}$ 与 $4^{(n - 4)/5}$。随后我们考虑与之紧密相关的问题——部分 DFA 的直径,即满足长度不超过 $\ell$ 的词能够表达该 DFA 中所有由词诱导的变换的最小 $\ell \ge 0$。我们证明,大小足够大的常数字母表即可在渐近意义上达到任意字母表大小下的直径上界,改进了 Panteleev 所需字母表大小关于状态数指数增长的构造。最后我们讨论其在非负矩阵有限半群直径上的一个应用,并提出若干开放问题。