实双圆盘的辛刚性

令 $\mathbb{D}$ 为 $\mathbb{C}$ 中的单位圆盘，则 $\mathbb{D}^n(r)$ 为半径 $r$ 的复或辛 $n$-圆盘。令 $z_j = x_j+iy_j\in\mathbb{C}, j=1,2$ 且 $\mathbb{D}_{\mathbb{R}}^2=\{(z_1,z_2) : |x_1|^2+|x_2|^2<1,|y_1|^2+|y_2|^2<1\}$ 为实双圆盘。本文将证明以下两个定理：1) 若 $T\in O(4)$ 是 $\mathbb{R}^4$ 上的正交变换，则关于 $\mathbb{R}^4$ 上的标准辛形式，$T(\mathbb{D}^2)$ 辛同胚于 $\mathbb{D}^2$ 当且仅当 $T$ 是酉的或共轭于酉。2) 对于 $r\geq 1$ 且 $n\geq 2$，关于 $\mathbb{C}^n$ 上的标准辛形式，$\mathbb{D}_{\mathbb{R}}^2\times \mathbb{D}^{n-2}(r)$ 与 $\mathbb{D}^2\times \mathbb{D}^{n-2}(r)$ 不辛同胚。