对称性对扩展公式规模的重要性
组合数学
2015-05-14 v3 最优化与控制
摘要
1991年，Yannakakis (J. Comput. System Sci., 1991) 证明了对于具有n个节点的完全图K_n的匹配多面体，不存在变量和约束数量在n中次指数有界的对称扩展公式。这里，对称意味着该公式在K_n的所有节点置换下保持不变。上述论文中还推测“非对称性帮助不大”，但迄今为止尚未找到关于一般扩展公式的相应结果。在本文中，我们证明对于与K_n中边数为log(n)（向下取整）的匹配相关联的多面体，存在多项式规模的非对称扩展公式，但同时不存在多项式规模的对称扩展公式。我们进一步证明了关于与长度为log(n)（向下取整）的圈相关联的多面体的类似结论。因此，关于最小可能扩展公式的问题，一般而言对称性要求可能非常重要。与发表在洛桑IPCO XIV会议论文集上的扩展摘要相比，本文不仅包含了其中省略的证明，还给出了略微推广和加强的下界。
引用
@article{arxiv.0911.3712,
title = {Symmetry Matters for Sizes of Extended Formulations},
author = {Volker Kaibel and Kanstantsin Pashkovich and Dirk Oliver Theis},
journal= {arXiv preprint arXiv:0911.3712},
year = {2015}
}
备注
24 pages; incorporated referees' comments; to appear in: SIAM Journal on Discrete Mathematics