周期 Fredkin 链的对称性

Fredkin 链是一种具有三个最近邻相互作用的自旋 $1/2$ 模型。在周期边界条件下，基态是退化的，可用 Dyck 路径的等价类来描述。我们引入两个与哈密顿量 commute 的算子，在作用于基态时分别扮演降低算子和升高算子的角色。这些算子生成 $B$ 或 $C$ 型 Lie 代数，具体取决于站点数 $N$ 为奇数或偶数，其秩为 $n=\lceil N/2\rceil$。总自旋算子第三个分量可以表示为 Cartan 子代数元素的和以及某个中心元素。在站点数为偶数的情况下（即 $C$ 型 Lie 代数），这种表示与此前在周期 Motzkin 链中针对自旋 $1$ 算子所假设的类似公式相吻合。