多项式环的对称群余不动商

给定有限群 $G$ 在某个交换基环 $\mathbf{k}$ 上的表示，余不动空间（cofixed space）是该表示上群平凡作用的最大商。若 $G$ 通过 $\mathbf{k}$-代数自同构作用，则余不动空间是 $G$-不变环上的模。当 $G$ 的阶在基环中不可逆时，关于该模结构所知甚少。我们研究当 $G$ 为 $n$ 个字母上的对称群、通过置换变量作用于多项式环时的余不动空间。当 $\mathbf{k}$ 特征为 0 时，余不动空间同构于对称多项式环的一个理想。将 $\mathbf{k}$ 在素数 $p$ 处局部化并令 $n$ 变化，揭示了这些理想中的惊人行为。随着 $n$ 增大，理想在某种意义下保持稳定，而后每当 $n$ 达到 $p$ 的倍数时复杂性跃升。