数学统计中的符号演算：综述

在过去的十年中，符号方法的使用大大扩展了统计与概率的理论和应用。本综述回顾了源于经典 umbral 演算（由 Rota 和 Taylor 于 $1994$ 年引入）的符号技术的发展。该符号技术的用途有两方面。其一是展示新的代数恒等式如何推动发现在彼此显然相距甚远且与概率和统计相关的主题间的洞察。主要工具之一是对相同概率分布卷积的形式推广，这使得我们能在仅有些相互关联的各种主题中运用复合泊松随机变量。在获得不同且更深入的观点后，第二目标是展示如何建立执行高效代数计算的算法过程。特别地，寻找这些符号程序的挑战应导向一种新方法，并提出了涉及计算和概念问题的新问题。应用该符号方法的效率证据将在统计推断、参数估计、L\'evy 过程以及更一般地涉及多元函数的问题中展示。Sheffer 多项式序列的符号表示使我们能够执行经典、布尔和自由累积量的统一理论。随机矩阵内近期的联系扩展了符号方法的应用。