参数为四进制正规数的切换服务器系统

切换服务器系统是制造、交通和排队系统的数学模型。最近，在 (Eur. J. Appl. Math. 31(4) (2020), pp. 682-708) 中证明了存在具有 $3$ 个缓冲区（罐）、一个服务器、填充率 $\rho_1=\rho_2=\rho_3=\frac13$ 以及参数 $d_1, d_2, d_3>0$ 的切换服务器系统，其全局吸引子为分形集。在本文中，我们证明若 $x_1\in(0,\frac13)$、$x_2\in(\frac13,\frac23)$ 和 $x_3\in(\frac23,1)$ 为有理数或四进制正规数（或更一般地，四进制丰富数），且 $(d_1,d_2,d_3)$ 是满足 $$d_1=\frac{1}{3x_1}-1,\quad d_2=\frac{2-3x_2}{3x_2-1}, \quad d_3=\frac{3-3x_3}{3x_3-2},$$ 的具有正分量的向量，则相应的切换服务器没有分形吸引子。更确切地说，系统的 Poincaré 映射具有有限全局吸引子。我们所使用的方法是研究一类分段 $\lambda$-仿射压缩映射族的拓扑动力学，该映射族以切换服务器系统的 Poincaré 映射为特例。