幂等元提升、正交性与有限性上的结构结果

本文利用幂等元与闭开集之间的标准对应，得到了关于幂等元提升的若干新结果。精确确定了极大谱的 Zariski 闭开集，然后作为一个应用，刻画了模 Jacobson 根的幂等元提升。还根据与该理想相关的某些连通集刻画了模任意理想的幂等元提升。随后作为一个应用，我们得到一个提升理想与一个正则理想的和是一个提升理想。我们证明了在可数情形下幂等元提升保持正交性。刻画了环的任意态射的提升性质。作为另一个主要结果，证明了环 $R$ 的幂等元个数有限当且仅当其形如 $2^{\kappa}$，其中 $\kappa$ 是 Spec$(R)$ 的连通分支的基数。最后，证明了零维环的本原幂等元与其素谱的孤立点一一对应。这些结果推广或改进了文献中的若干重要结果。