由最优可观测量演化导出的随机薛定谔方程

在本文中,我们考虑一组由 |Q\right> 表示的试探波函数,以及一组相关联的算符 $A_\alpha$,它们生成连接这些试探态的变换。利用变分原理,我们证明总能得到一种量子蒙特卡洛方法,其中系统的量子演化被替换为形如 $D = |Q_a> <Q_b|$ 的密度矩阵之间的跳跃,并且 $A_\alpha$ 矩至给定阶 $k$ 的平均演化,即 $< A_{\alpha_1} >$、$< A_{\alpha_1} A_{\alpha_2} >$、...、$< A_{\alpha_1} ... A_{\alpha_k} >$,在每条随机轨迹的每个时间步都被约束遵循精确的 Ehrenfest 演化。于是,当施加越来越多约束(即 $k$ 增大)时,得到一组越来越精细的量子问题的随机近似,逼近精确解。若作用在试探态上的哈密顿量 $H$ 可写为 $A_\alpha$ 的多项式,该蒙特卡洛过程甚至可能变得精确。该形式体系在希尔伯特空间中的量子跳跃与相空间动力学之间建立了自然联系。我们表明,利用这一近似层级及其与 Ehrenfest 定理的联系,可极大简化随机薛定谔方程的推导。文中给出了若干示例:自由波包演化、Kerr 振荡器、广义版本 Kerr 振荡器,以及相互作用的玻色子或费米子。