面向大规模高斯过程回归与统计有限元分析的随机场随机偏微分方程表示
数值分析
2023-09-06 v2 数值分析
计算物理
机器学习
摘要
在几何复杂域上随机场的高效表示对于工程与机器学习中的贝叶斯建模至关重要。当今主流的随机场表示要么针对无界域，要么在场的特性上过于受限。由于这些局限，利用随机偏微分方程（SPDE）与随机场之间历史既定联系的技术正日益受到关注。SPDE表示对于已具备有限元离散化以求解物理守恒方程的工程应用尤其具有吸引力。与随机场的稠密协方差矩阵不同，其逆矩阵即精度矩阵通常是稀疏的，且等于椭圆SPDE的刚度矩阵。我们利用SPDE表示开发了用于复杂几何上大规模统计有限元分析与高斯过程（GP）回归的可扩展框架。Girolami等人（2022）引入的统计有限元方法（statFEM）是一种合成测量数据与有限元模型的新方法。在statFEM与GP回归中，我们使用SPDE公式以稀疏精度矩阵获得相关先验概率密度。先验的性质由SPDE的参数及可能的分数阶控制，从而我们可在有界域与流形上建模各向异性、非平稳且具有任意光滑度的随机场。statFEM与GP回归的观测模型使得后验概率密度为具有闭式均值与精度的高斯分布。相应的均值向量与精度矩阵可仅使用稀疏矩阵运算求值。我们通过泊松与薄壳算例展示了所提框架的通用性及其收敛性质。
引用
@article{arxiv.2305.13879,
title = {Stochastic PDE representation of random fields for large-scale Gaussian process regression and statistical finite element analysis},
author = {Kim Jie Koh and Fehmi Cirak},
journal= {arXiv preprint arXiv:2305.13879},
year = {2023}
}