基于有限元的高维贝叶斯场重建：应用于三维多孔介质流动
计算工程、金融与科学
2026-05-26 v1
摘要
我们提出一种统一的、基于有限元的变分推断框架，用于受偏微分方程 (PDE) 控制的物理问题中极高维度的贝叶斯空间场重建。该框架提供完整协方差的高斯变分后验，对所有先验与似然超参数进行概率处理，在三维曲面有限元离散化下实现场维度超过 40 万。迄今为止，这是首个在此规模上实现完整协方差变分重建，补充了主流极端规模贝叶斯反演中占主导地位的低秩 Hessian-Laplace 方法。空间先验源自随机偏微分方程 (SPDE) 联系，严格以有限元 (FE) 算子形式化表述。稀疏高斯变分分布通过其精度 Cholesky 分解参数化，稀疏性模式继承自该域的拉普拉斯算子。与基于协方差的稀疏参数化不同，稀疏精度通过其稀疏逆矩阵隐式地表示密集后验协方差，实现 O(n) 内存成本下的平滑、物理上合理的采样，并通过路径导数 (黏粘着陆估计) 直接支持 ELBO 梯度。自然梯度策略稳定收敛，变分贝叶斯期望最大化 (VB-EM) 循环对所有超参数进行解析边缘化，实现自动粗到细的连续化。该框架在多孔介质流动的贝叶斯渗透率场重建问题上得到验证，高保真恢复了所有主要空间特征。算法消除与与现有推断方法的比较量化了相对于最先进基准的改进。
引用
@article{arxiv.2605.24682,
title = {Scalable High-Dimensional Bayesian Field Reconstruction with Finite Elements: Application to 3D Porous Media Flow},
author = {Jonas Nitzler and Maximilian Bergbauer and Phaedon-Stelios Koutsourelakis and Wolfgang A. Wall},
journal= {arXiv preprint arXiv:2605.24682},
year = {2026}
}
备注
36 pages, 11 figures