非线性反问题中 Besov 先验变分推断的一致性

本研究探讨了偏微分方程（PDE）反问题的变分后验收敛速率，其参数属于 Besov 空间 $B_{pp}^\alpha$（$p \geq 1$），这些参数通过使用具有 $p$ 指数分布系数的随机小波展开构建的 Besov 先验，以贝叶斯方式自然建模。不同于精确贝叶斯推断，变分推断通过引入变分集将推断问题转化为优化问题。基于改进的“先验质量和测试”框架，我们推导了 PDE 算子的一般条件，并保证变分后验在广泛采用的变分族（Besov 型测度或平均场族）下实现与精确后验相匹配的收敛速率。此外，我们的结果在 $B^\alpha_{pp}$ 类上达到了极小化极大最优速率，显著优于高斯先验的次优速率（相差一个多项式因子）。作为具体示例，我们研究了两个典型的非线性反问题，即 Darcy 流问题和次扩散方程的反势问题，以验证我们的理论。此外，我们证明了这些“PDE 约束回归问题”的“预测”损失的收敛速率是极小化极大最优的。