针对具有空间依赖与状态依赖系数的偏微分方程的近似贝叶斯模型反演
统计方法学
2019-09-04 v1
摘要
我们提出了两种近似贝叶斯推断方法，用于估计具有空间依赖和状态依赖参数的偏微分方程（PDE）模型中的参数。我们证明这些方法为马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）模拟提供了准确且低成本的替代方案。我们假设未知函数上有一个参数化的高斯先验，并用参数化的多元高斯密度近似后验密度。先验与后验的参数通过最大化证据下界（ELBO，即观测的对数边际似然的下界），从 PDE 模型状态及未知函数本身的稀疏观测中估计得到。第一种方法 Laplace-EM 采用期望最大化算法最大化 ELBO，在 E 步使用拉普拉斯近似后验，在 M 步最小化 Kullback-Leibler 散度。第二种方法 DSVI-EB 采用双重随机变分推断（DSVI）算法，通过基于梯度的随机优化最大化 ELBO，其中噪声梯度由简单蒙特卡洛采样和高斯反向传播计算。我们将这些方法应用于识别线性和非线性扩散方程中的扩散系数，发现两种方法均能准确估计后验密度和高斯先验的超参数。Laplace-EM 方法更准确，但需计算物理模型的 Hessian 矩阵；DSVI-EB 方法准确性较低，但仅需物理模型的梯度。
引用
@article{arxiv.1902.06718,
title = {Approximate Bayesian Model Inversion for PDEs with Heterogeneous and State-Dependent Coefficients},
author = {David A. Barajas-Solano and Alexandre M. Tartakovsky},
journal= {arXiv preprint arXiv:1902.06718},
year = {2019}
}