亚最优传输的统计力学

统计力学是分析优化问题（包括匹配、最优传输及其他组合问题）并给出解析结果的强大框架。然而，这些方法通常针对零温度极限，即系统坍缩到最优配置（即基态）。实际系统常处于中间阶段，熵与能量最小化真正竞争，产生结构化但亚最优的配置。亚最优传输（Sub-Optimal Transport, SOT）模型通过加权双部份图的集合来捕捉这种竞争：耦合参数在熵主导的稠密配置与能量主导的稀疏结构之间进行插值。该交叉在数值上已被观察到，但缺乏解析理解。本文发展了均场理论，以 characterize 这种转变。我们证明，在热力学极限中，拉格朗日乘子的局部波动变为亚线性增长，从而将完整模型（带约束）简化为单约束问题，后者在某些中间阶段可得到精确解。 resulting free energy 对耦合参数解析，确认为平滑的交叉而非相变。我们推导出热力学可观测量和权重分布的闭式表达式，并通过数值模拟验证。这些结果建立了 SOT 模型的第一个解析描述，将统计力学方法扩展到零温度 regime 之外。