李群及其齐性空间上平稳核与高斯过程（一）：紧致情形
统计方法学
2026-03-02 v5 机器学习
统计理论
机器学习
统计理论
摘要
高斯过程可以说是机器学习中最重要的时空模型类别。它们编码关于被建模函数的先验信息，并可用于精确或近似贝叶斯学习。在许多应用中，特别是在物理科学和工程领域，以及地质统计和神经科学等领域，对对称性的不变性是可以考虑的最基本先验信息形式之一。高斯过程协方差对此类对称性的不变性，给出了平稳性概念到此类空间最自然的推广。在这项工作中，我们开发了用于在一大类对称性背景下出现的非欧几里得空间上构建平稳高斯过程的构造性和实用技术。我们的技术使得（i）计算协方差核以及（ii）以实用方式从定义在此类空间上的先验和后验高斯过程中采样成为可能。本工作分为两部分，每部分涉及不同的技术考量：第一部分研究紧致空间，第二部分研究具有特定结构的非紧致空间。我们的贡献使我们所研究的非欧几里得高斯过程模型与标准高斯过程软件包中可用的成熟计算技术兼容，从而使从业者能够使用它们。
引用
@article{arxiv.2208.14960,
title = {Stationary Kernels and Gaussian Processes on Lie Groups and their Homogeneous Spaces I: the compact case},
author = {Iskander Azangulov and Andrei Smolensky and Alexander Terenin and Viacheslav Borovitskiy},
journal= {arXiv preprint arXiv:2208.14960},
year = {2026}
}
备注
This version fixes two mathematical typos, in equations (58) and (65), where both sums should be taken only over the diagonal part $\pi^{(\lambda)}_{jj}$ and not over $\pi^{(\lambda)}_{jk}$ as had erroneously been written in the previous version. The proofs for both statements remain unchanged. We thank Natha\"el Da Costa for making us aware of this pair of typos