稳定恢复与随机向量的坐标小球行为

数据科学各类应用中的恢复过程基于\emph{稳定点分离}。其最简单的形式是：若 $f$ 与 $0$ “相距甚远”，且给定随机样本 $(f(Z_i))_{i=1}^m$（其中样本点的一个比例部分可能被噪声污染），该信息仍足以表明 $f$ 远离 $0$。稳定点分离在独立同分布采样情形下已被充分理解；为探索一般采样方法下的该性质，我们引入一个新概念——随机向量 $X$ 的\emph{坐标小球}。粗略地说，该特征刻画了 $(|<TX,u_i>|)_{i=1}^m$ 中“相对较大坐标”的个数，其中 $T:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 为任意线性算子，$(u_i)_{i=1}^m$ 是 $\mathbb{R}^m$ 的任意固定正交基。我们表明，在 $X$ 的极小假设下，并以高概率，许多值 $|<TX,u_i>|$ 至少达到 $\|T\|_{S_2}/\sqrt{m}$ 的量级。因此，$TX$ 的“坐标结构”展现出 $TX$ 的典型欧氏范数，且以稳定方式实现。我们分析的一个结果是：随机下采样卷积在生成随机向量的极小假设下满足稳定点分离——这一事实此前仅在高度受限的设置中已知，即具有独立同分布亚高斯坐标的随机向量。