平稳序列下 Kaczmarz 重构的稳定性

Kaczmarz 算法是一种从内积 $\langle f , \varphi_{n} \rangle$ 重构未知向量 $f$ 的迭代方法。我们考虑在 $\{ \varphi_{n} \}$ 构成平稳序列的假设下加性噪声如何影响重构的问题。与其他重构方法（如框架重构）不同，Kaczmarz 重构在存在噪声时是不稳定的。然而，我们表明可通过松弛 Kaczmarz 算法来稳定重构；当在单位圆盘上视为一种重构时，该松弛对应于 Abel 求和。此外，我们表明对于某些噪声剖面，例如那些位于 $H^{\infty}(\mathbb{D})$ 或 $H^{2}(\mathbb{D})$ 的某些子空间中的噪声，松弛版 Kaczmarz 算法可完全去除内积中的噪声损坏。利用平稳序列的谱表示，我们表明当 $\mu$ 为奇异测度时，我们的松弛版 Kaczmarz 算法也稳定了 $L^2(\mu)$ 中傅里叶级数展开的重构。