用点和平面刺穿单纯形

Barany 在 1982 年证明了以下结果：对于每个 d >= 1，存在 c_d > 0，使得对于 R^d 中的每个 n 点集 S，都存在一个点 p ∈ R^d，该点包含在由 S 张成的至少 c_d n^{d+1} - O(n^d) 个单纯形中。我们研究了 c_d 的最大可能值。已知 c_d <= 1/(2^d(d+1)!)（该估计实际上对每个点集 S 都成立）。我们构造了集合表明 c_d <= (d+1)^{-(d+1)}，并猜想该估计是紧的。Wagner 给出的最佳已知下界是 c_d >= gamma_d := (d^2+1)/((d+1)!(d+1)^{d+1})；在他的方法中，p 可以选择为 S 的任意中心点。我们构造了具有中心点的 n 点集，该中心点包含在由 S 张成的不超过 gamma_d n^{d+1}+O(n^d) 个单纯形中，从而表明使用任意中心点的方法无法进一步改进。我们还证明了对于 R^d 中的每个 n 点集 S，存在一个 (d-2)-平面，它刺穿至少 c_{d,d-2} n^3 - O(n^2) 个由 S 张成的三角形，其中 c_{d,d-2}>=(1/24)(1- 1/(2d-1)^2)。为此，我们建立了一个具有独立意义的等分结果（推广了 Buck 和 Buck 以及 Ceder 的平面结果）：R^d 中的每个质量分布都可以被 2d-1 个相交于公共 (d-2)-平面的超平面分成 4d-2 个相等的部分。