基于谱隙的确定性张量补全

张量补全是推荐系统及其他含缺失数据领域的核心机器学习算法。虽然矩阵情形已被充分理解，张量问题的理论结果有限，尤其在采样模式为确定性时。此处我们界定了两种张量补全方法——Poisson 损失与原子范数最小化——解的泛化误差，给出了关于目标张量秩更紧的界。若真实张量为阶 $t$、CP 秩 $r$，则对 $r$ 的依赖性由 arXiv:1910.10692 中的 $r^{2(t-1)(t^2-t-1)}$ 改进为 $r^{2(t-1)(3t-5)}$。我们界中的误差由采样稀疏度模式的谱隙确定性控制。我们还证明了原子张量范数的若干新性质，在随机采样方案下将秩依赖性从 arXiv:1711.04965 中的 $r^{3t-3}$ 降至 $r^{3t-5}$。一个局限是，原子范数最小化虽具理论趣味，却导致低效算法。然而，数值实验说明了重构误差对实用的最大拟范数、岭惩罚与 Poisson 损失最小化算法中谱隙的依赖性。通过谱隙的这一视角是研究张量算法的一个有前景的窗口。