几何中守恒量的特定偏微分方程。III. 一维射影变换及其子群

我们通过求解特定偏微分方程将寻找几何上有意义的守恒量扩展到一维射影变换及其子群。这不仅可以视为一个纯几何问题，也可以视为寻找物理可观测量这一问题的子情形，并且进一步作为将数学结构中背景无关性逐级比较研究扩展到包含射影结构的一部分。完整的一维射影不变量众所周知是交比。我们 moreover 将此事实重新推导为一维射影几何的守恒方程 PDE 系统的唯一解。我们还给出了一维几何的守恒量，其唯一变换为 1) 特殊射影变换 $Q$，给出倒数之差；2) $Q$ 连同伸缩变换 $D$，此时给出倒数差之比。该分析一方面首先指向了对交比的新解释：那些同时是倒数之差的差之比，另一方面也促使 1) 和 2) 被视为对应于真正的且具区分性的几何。