球内空间-频谱局部化——关于频谱形状影响的研究

我们研究$d$维球子域内的Slepian空间-频谱局部化问题。与欧氏空间或球面上更经典的设定相反，球内缺乏标准或公认带宽定义。此处我们考虑Fourier-Jacobi函数系，通过球谐函数与Jacobi多项式解耦球向与径向贡献。该设定的特例在地球物理与医学成像的多种反问题中备受关注，因其涉及底层非唯一性；在光学中其亦代表广泛使用的Zernike多项式。带宽可分别对球向与径向贡献指定，而两者贡献间耦合的具体选择决定了频谱形状，即整体的带限概念。理解频谱形状对Slepian空间-频谱局部化问题特征值分布的影响，可为不同应用提供特别适宜的带宽概念的线索。我们针对由总体多项式次数定义的频谱形状，以及由球向与径向贡献顺序极限定义的频谱形状，给出了严格的渐近结果。对于多种其他频谱形状，我们提供了渐近特征值分布的数值图示。此外，我们展示了频谱形状与Zernike多项式常用索引方案的直接联系。