关于凸锥求和的稀疏化

设 $x_1,x_2,\ldots,x_m$ 为凸锥 $K$ 的元素，且其和 $e$ 位于 $K$ 的相对内部。该求和的 $\epsilon$-稀疏化涉及取 $x_i$ 的一个子集并以正标量重新加权，使得所得之和在由 $K$ 诱导的序的意义下相对地 $\epsilon$-接近于 $e$。这推广了半正定矩阵求和的有影响力的谱稀疏化模型。本文引入并研究了凸锥的稀疏化函数，该函数在最坏情况下（遍历锥中所有可能的求和）度量了 $\epsilon$-稀疏器的最小规模。Batson、Spielman 与 Srivastava 的线性规模谱稀疏化定理可被视为对半正定矩阵锥的稀疏化函数的界。该结果被推广到一族凸锥（包括所有双曲性锥），这些锥容许具有某些附加性质的 $\nu$-对数齐次自协和障碍函数。对于这些锥，稀疏化函数的上界为 $\lceil4\nu/\epsilon^2\rceil$。对于仅容许普通 $\nu$-对数齐次自协和障碍函数的一般凸锥，稀疏化函数的上界为 $\lceil(4\nu/\epsilon)^2\rceil$。此外，本文探讨了稀疏化函数如何与各种凸几何操作（如锥提升）相互作用，并描述了关于锥的稀疏化对某些锥优化问题的影响。