从矩阵-向量乘积中稀疏恢复椭圆求解器

本工作中，我们证明 $d$ 维椭圆边值问题的求解器仅需与精心选取的向量（右端项）进行 $\mathcal{O}\left(\log(N)\log^{d}(N / \epsilon)\right)$ 次矩阵-向量乘积，即可被逼近至精度 $\epsilon$。该求解器仅作为黑箱被访问，其底层算子可能未知且为任意高阶。我们的算法（1）具有复杂度 $\mathcal{O}\left(N\log^2(N)\log^{2d}(N / \epsilon)\right)$，并将解算子表示为具有 $\mathcal{O}\left(N\log(N)\log^{d}(N / \epsilon)\right)$ 个非零项的稀疏 Cholesky 分解；（2）允许以极度并行方式计算解算子及其对数行列式；（3）允许以 $\mathcal{O}\left(\log(N)\log^{d}(N / \epsilon)\right)$ 复杂度计算求解器矩阵表示中的单个元素，进而可将其重压缩为 $\mathcal{O}\left(N\log^{d}(N / \epsilon)\right)$ 复杂度的表示。作为副产品，我们的压缩方案产生了一个具有近最优逼近精度的均匀化解算子。通过多项式逼近，我们也能从 $\mathcal{O}\left(\log^{1 + d}\left(\epsilon^{-1}\right)\right)$ 次 PDE 解出发，将连续 Green 函数（在算子与 Hilbert-Schmidt 范数下）逼近至精度 $\epsilon$。我们给出了这些结果的严格证明。据我们所知，我们的算法在精度 $\epsilon$ 与所需矩阵-向量乘积数量之间取得了已知最佳权衡。