稀疏群未必是半稀疏的

1999年，Michael Hartley 证明了任何抽象多胞形都可以通过 C-群 $\C$ 和子群 $N \leq \C$ 作为双陪集偏序集来构造。通过这种构造产生抽象多胞形的子群 $N \leq \C$ 称为{\em 稀疏的}。进一步，若偏序集的基旗的稳定子恰好为 $N$，则称 $N$ 为{\em 半稀疏的}。在 \cite[Conjecture 5.2]{hartley1999more} 中，Hartley 猜想稀疏群总是半稀疏的。本文证明该猜想实际上是错误的：存在不是半稀疏的稀疏群。特别地，我们证明了此类群总是由产生多胞形的非忠实 maniplex 得到。利用这一点，我们证明了 Hartley 猜想在秩 3 时成立，但构造了反例以否定所有秩 $n\geq 4$ 时的猜想。