时空 POD 与 Hankel 矩阵

时滞嵌入是数据驱动降阶建模工作中一个日益流行的起点。特别是，由动力系统状态的连续时滞嵌入形成的块 Hankel 矩阵的奇异值分解（SVD）是几种流行降阶建模方法的核心。在本文中，我们证明了这个 Hankel 矩阵的左奇异向量是经典时空本征正交分解（POD）模态的离散近似，而奇异值是 POD 能量的平方根。这种联系为 Hankel 模态建立了基于经典理论的清晰解释，并且我们通过分析由 Hankel 矩阵与其共轭转置相乘形成的相关矩阵，来获得对等效离散时空 POD 模态的洞察。这些洞察包括行和列的不同含义、模态最优的隐含范数、快照之间的时间步长对模态的影响，以及 Hankel 矩阵的嵌入维度/高度在模态最优时间窗口方面的解释。此外，我们建立的联系提供了在某些实际情况下改善收敛性和计算时间的机会，并利用相同的数据提高模态的精度。最后，POD 的流行变体，即标准的仅空间 POD 和谱 POD，分别在用于形成 Hankel 矩阵每列的快照代表短时间和长时间流动演化的极限情况下被恢复。